2020牛客国庆集训派对day2 F-SUM OF SUB RECTANGLE AREAS

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题意

给一个N * N的矩阵，每一位上都是1，求所有子矩阵的权值之和。

思路

$设n = 3；$ 考虑子矩阵大小为$i * j$的个数$x$，即该大小的所有子矩阵的权值为$x* i * j$。 $1 * 2$子矩阵:每行个数为$2$个，有$3$列，即总权值为$2 * 3 * （1 * 2）–2 * 3$为该矩阵在n*n矩阵中的个数，$1 * 2$为该子矩阵里的权值。 $2 3$子矩阵：每两行有$1$个，一共$2$个两行，权值为$2 3$，即总权值为$1 * 2 * 2 * 3$。

根据上面推导出：在$n*n$的矩阵中，有$i*j$子矩阵的个数为$(n - i + 1) * (n - j + 1)$，即总权值为$(n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j$。 即总答案为： $$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j$$

$$ans=[\sum_{i=1}^n(n-i+1)i]^2$$

$$ans=[\frac{n^2(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}]^2$$

$$ans=[\frac{n * (n + 1)*(n+ 2)}{6}]^2$$

因为题目说会爆longlong，所以我这里用的是JAVA大数BigInteger，python也可（不过我不会）。

Code(71MS)

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import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main
{
    public static void main(String[] args){
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int T;
        T = in.nextInt();
        for(int i = 1;i <= T; i++) {
            long n;
            n = in.nextLong();
            BigInteger ans = new BigInteger("1");
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n));
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 1));
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 2));
            ans = ans.divide(BigInteger.valueOf(6));
            ans = ans.multiply(ans);
            System.out.println(ans);
        }
    }
}

本文作者：jujimeizuo
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