codeforces round

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题意

给一个长度为n的序列，有q个操作，每次操作会将第i个数乘x，在输出gcd(所有数).

思路

因为每次操作只对一个数操作，而不是区间修改，而且是不是求区间gcd。 即不需要用线段树求区间gcd，可以用可以动态开点维护每个质因子的min值。

$gcd=p_1^{min(k_1,k_2…k_n)}…p_n^{min(k_1,k_2…k_n)}$

本篇题解是利用multiset维护每个质因子的min值。 因为multiset每次操作都是$\log n$，而且mtltiset内部都是有序的，可重复的，简直完美！

定义prime[i][j]表示第i个数字的质因子j的个数。 定义mt[i]表示质因子i的个数的有序序列。 所以当每个数字都有i这个因子时，即: $if(mt[i].size() == n) \;*mt[i].begin()$即为质因子i的最小值贡献。

每次操作一次的时候，先对x质因子分解，然后对每个质因子操作，并维护mt[i]。

所以暴力模拟这个过程即可。

Code

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##include "bits/stdc++.h"
using namespace std;

typedef long long ll;

##define endl "\n"
const ll mod = 1e9 + 7;

const int N = 2e5 + 10;

ll quick_pow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans % mod;
}

bool is_prime[N];
int prime[N];

void init() {
    for(int i = 2;i < N; i++) {
        if(!is_prime[i]) {
            for(int j = 1;i * j < N; j++) {
                prime[i * j] = i;
                is_prime[i * j] = 1;
            }
        }
    }
}

map<int, int> primes[N];
multiset<int> mt[N];

void solve() {
    init();
    int n, q; cin >> n >> q;
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
        int x; cin >> x;
        while(x > 1) {
            primes[i][prime[x]]++;
            x /= prime[x];
        }
        for(auto &it : primes[i]) {
            mt[it.first].insert(it.second);
        }
    }
    ll ans = 1;
    for(int i = 1;i < N; i++) {
        if(mt[i].size() == n) {
            ans = ans * quick_pow(i, *mt[i].begin()) % mod;
        }
    }
    while(q--) {
        int i, x; cin >> i >> x;
        map<int, int> cnt;
        while(x > 1) {
            cnt[prime[x]]++;
            x /= prime[x];
        }
        for(auto &it : cnt) {
            if(primes[i].find(it.first) == primes[i].end()) {
                primes[i][it.first] = it.second;
                mt[it.first].insert(it.second);
                if(mt[it.first].size() == n) {
                    ans = ans * quick_pow(it.first, *mt[it.first].begin()) % mod;
                }
            }
            else {
                int pre = primes[i][it.first];
                int cur = pre + it.second;
                int premin = *mt[it.first].begin();
                mt[it.first].erase(mt[it.first].find(pre));
                mt[it.first].insert(cur);
                int nowmin = *mt[it.first].begin();
                primes[i][it.first] = cur;
                if(mt[it.first].size() == n) {
                    ans = ans * quick_pow(it.first, nowmin - premin) % mod;
                }
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
}

signed main() {
    solve();
}

本文作者：jujimeizuo
本文地址： https://blog.jujimeizuo.cn/2021/03/07/codeforces-round-705-div2-d-g/
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