牛客挑战赛50 B Random eat Cake 排列组合

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题意

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思路

$排列组合题，基本都是考虑“数”的贡献。$

$所以我们针对每个数字1，2…n出现的次数，即贡献为num_i*\frac{1}{i!}，num_i表示i出现的次数。$

$即ans=\sum_{i=1}^{n}num_i*\frac{1}{i!}$

$比如先考虑1，先拿出一个1，然后还剩下n-1，则我们让他们随意组合。$ $假设n-1组成4个数字，则由捆绑法可得:$

$n-1的组成4个数字的种数为C_{n-2}^{3}，然后我们的1可以插入5个位置，则*5.$

$我们可以让n-1组成1到n-1个数字，进而得出，1出现的总次数为：$

$C_{n-2}^{0}*2+C_{n-2}^{1}*3+…+C_{n-2}^{n-3}*(n-1)+C_{n-2}^{n-2}*n$

$由组合恒等式算出来，这个式子为2^{n-1}+(n-2)*2^{n-3}$

$则1的总贡献为\frac{1}{1!}*(2^{n-1}+(n-2)*2^{n-3})$

$然后计算2，3一直到n的贡献，加起来即可。注意一些边界问题，越界了都当成0.$

$分母就是n个1能有多少种组成方法:$

  • $组成1个数，C_{n-1}^{0}$
  • $组成2个数，C_{n-1}^{1}$
  • …
  • $组成n个数字,C_{n-1}^{n-1}$

$由二项式定理得，分母为2^{n-1}$

$总结一下ans：$

$$\frac{\sum_{i=1}^{n}2^{n-i}+(n-i-1)*2^{n-i-2}}{2^{n-1}}$$

$预处理然后O(n)计算。$

Code

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##include "bits/stdc++.h"
using namespace std;

typedef long long ll;

const ll mod = 998244353;
const int N = 5e5 + 10;

ll fac[N], inv[N], invF[N];
ll bit[N], invbit[N];

ll quick_pow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans % mod;
}

void init() {
    ll inv2 = quick_pow(2, mod - 2);
    invbit[0] = bit[0] = fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = invF[0] = invF[1] = 1;
    bit[1] = 2;
    invbit[1] = inv2;
    for(int i = 2;i < N; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
        inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
        invF[i] = invF[i - 1] * inv[i] % mod;
        bit[i] = bit[i - 1] * 2 % mod;
        invbit[i] = invbit[i - 1] * inv2 % mod;
    }
}

void solve() {
    init();
    int _; cin >> _;
    while(_--) {
        int n; cin >> n;
        ll ans = 0;
        for(int i = 1;i <= n; i++) {
            ans = (ans + invF[i] * (bit[n - i] + (n - i - 1 >= 0 ? n - i - 1 : 0) * bit[(n - i - 2 >= 0 ? n - i - 2 : 0)] % mod) % mod) % mod;
        }
        ans = ans * invbit[n - 1] % mod;
        cout << (ans % mod + mod) % mod << endl;
    }
}

signed main() {
    solve();
}

本文作者：jujimeizuo
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