全体自然数之和等于$-\frac{1}{12}$
有人一定听说过全体自然数之和等于$-\frac{1}{12}$，那我们这期就来聊聊这究竟是为什么呢？这个结果又和什么有关系呢？
之前我们说过这样的一个式子： $$\varepsilon (s) = 1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{4^{s}} +\frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{6^{s}}+… $$
当s = 1时； $$\varepsilon (1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +\frac{1}{5} + \frac{1}{6}+… $$
这是调和级数，是发散的。
当s = 2时； $$\varepsilon (2) = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} +\frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}}+… $$
这就是巴塞尔问题，答案是$\frac{\pi^{2}}{6}$。
但是当s < 1时，答案又是什么呢？
欧拉给出了这么几个答案：
$$\varepsilon (-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5… = -\frac{1}{12} \ \varepsilon (-2) = 0 \ \varepsilon (-3) = -\frac{1}{120}$$
是不是很神奇，那让我们看一下欧拉的证明方法。
欧拉把这个函数$\frac{x}{(1-x)^{2}}$幂级数展开得： $$\frac{x}{(1-x)^{2}} = x + 2x^{2} + 3x^{3} + 4x^{4} + ….$$
令x = -1得： $$-\frac{1}{4} = -1 + 2 - 3 + 4 - …..$$ $$ -\frac{1}{4}= -(1 + 3 + 5 + …) + (2 + 4 + 6 + …)$$ $$-\frac{1}{4} = -(1 + 2 + 3 + 4 + ..) + (2 *2 +4*2 + 6*2+…)$$ $$-\frac{1}{4}=3 * (1 + 2 + 3 + 4 + ….)$$ $$1 + 2 + 3 + 4 + … = -\frac{1}{12}$$
这只是欧拉的证明方法，还有很多其他版本的证明方法后续再补充。
（全体自然数之和在数学家的眼里是错误的，但是在物理学家的眼里那就不一定错误了。）
到了这里，为什么全体自然数之和等于$-\frac{1}{12}$，在上一期说过，s在这个欧拉级数里必须是大于1才有意义，当s = -1的时候是无意义的，那么怎么会出现这个这个结果，答案就是解析延拓。
解析延拓
定义
解析：如果一个函数$f(x)$在某一点a处可导，并且在a的领域也处处可导，即这个函数$f(x)$在a点是解析的，如果$f(x)$在区域D内的任意一点都是解析的，那么$f(x)$在区域D内是解析的。
通俗的来说，解析延拓就是将一个函数$f(x)$的定义域“扩大”，但这个“扩大”不是随意扩大，解析延拓是唯一的，条件就是$f(x)$是在一个区域内是处处可导的，那么就可以将这个区域扩大到全局，也就是局部函数->全局函数，而且也是处处可导的。处处可导是什么意思呢？就是处处是光滑。
那我们来举个栗子。
栗子
我们一定看过这样的一个数列： $$1 + x + x^{2} + x^{3} + ….$$
用等比数列求和可得(-1 < x < 1)：
$$1 + x + x^{2} + x^{3} + …. = \frac{1}{1 - x}$$
那我们先把这个函数用图像画出来，当-1 < x < 1时，左边是严格等于右边的，所以图像是：
左边的数列只有在-1<x<1时才会是上图所呈现的，但是对于右边，貌似我们还可以画出x的定义域内的图像，图像如下：
这样我们就把左边的数列进行了解析延拓，扩大了定义域，但是上图除了-1<x<1，之外的范围都不存在，让我们来带几个值进去。 当$x = \frac{1}{2}$时： $$1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{3} + …. = 2$$ 这是完全正确的。 当$x = -1$时： $$1 + -1 + 1 - 1 + …. = \frac{1}{2}$$
这个式子对不对自己细品。。。 对于左边x = -1是没有意义的，但是对于解析延拓出来的右边函数是具有意义的。
所以说，全体自然数之和等于$-\frac{1}{12}$是解析延拓出来的结果，是错误的。
那么欧拉级数解析延拓出来的函数是什么样子呢？让我们下期再来讲讲黎曼函数。
参考： https://www.bilibili.com/video/BV1MW411S7Tg https://www.bilibili.com/video/BV1oW411U7Bk https://blog.csdn.net/qq_40155097/article/details/86670230
本文作者：jujimeizuo
本文地址： https://blog.jujimeizuo.cn/2020/06/06/riemann-hypothesis-2/
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