2019年ICPC 上海网络赛 E. Counting Sequences II 指数型生成函数

传送门：https://nanti.jisuanke.com/t/41413

题意

构造序列$a_1..a_n，a_i\in [1,m]$，保证偶数出现偶数次数。输出总方案数。

思路

考虑指数型生成函数。 我们知道对于一个数，出现次数可能为$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{2^2}{2!}+…$中的一个。

所以对于m中，设奇数有a个，偶数有b个，偶数保证出现偶数次，奇数无所谓。即：

$$f(x)=(e^x)^a*(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^b$$

二项式展开：

$$f(x)=\frac{1}{2^b}*e^{ax}*\sum_{i=0}^bC_b^ie^{xi}e^{-x(b-i)}$$

$$f(x)=\frac{1}{2^b}*e^{(a-b)x}*\sum_{i=0}^bC_b^ie^{2ix}$$

$$f(x)=\frac{1}{2^b}*e^{(a-b)x}*\sum_{i=0}^bC_b^i\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(2ix)^j}{j!}$$

因为序列有n个，所以取$x^n$的系数在完全排列即为ans。

$$ans=\frac{1}{2^b}*e^{(a-b)x}*\sum_{i=0}^bC_b^i\frac{(2i)^n}{n!}*n!$$

$$ans=\frac{1}{2^b}*e^{(a-b)x}*\sum_{i=0}^bC_b^i\frac{(2i)^n}{n!}*n!$$

  • 当m为偶数时，a=b

$$ans=\frac{1}{2^b}*\sum_{i=0}^bC_b^i(2i)^n$$

  • 当m为奇数时，a=b+1

$$ans=\frac{1}{2^b}*\sum_{i=0}^bC_b^i(2i+1)^n$$

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
##include "bits/stdc++.h"
using namespace std;

typedef long long ll;
 const ll mod = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 10;

ll F[N];
ll invn[N];
ll invF[N];

void Init() {
    F[0] = F[1] = invn[0] = invn[1] = invF[0] = invF[1] = 1;
    for(int i = 2;i < N; i++) {
        F[i] = F[i - 1] * i % mod;
        invn[i] = mod - (mod / i) * invn[mod % i] % mod;
        invF[i] = invF[i - 1] * invn[i] % mod;
    }
}

ll C(ll m, ll n) {
    if(m < 0  n < 0  n > m) return 0;
    ll ans = F[m];
    ans = ans * invF[n] % mod;
    ans = ans * invF[m - n] % mod;
    return ans ;
}

ll quick_pow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans % mod;
}

void solve() {
    Init();
    int _; cin >> _;
    while(_--) {
        ll n, m; cin >> n >> m;
        ll b = m / 2;
        ll ans = quick_pow(quick_pow(2, b), mod - 2);
        ll sum = 0;
        for(int i = 0;i <= b; i++) {
            sum = (sum + C(b, i) * quick_pow(2 * i + (m & 1), n) % mod) % mod;
        }
        ans = ans * sum % mod;
        cout << ans << endl;
    }
}

signed main() {
    solve();
}

本文作者：jujimeizuo
本文地址： https://blog.jujimeizuo.cn/2021/03/05/2019-icpc-online-shanghai-e-counting/
本博客所有文章除特别声明外，均采用 CC BY-SA 3.0 协议。转载请注明出处！