P1273 有线电视网 树上背包

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题意

给一棵树，每条边都有收费，每个叶子节点给费用。 问从根节点出发，在不亏本的情况下能到达多少叶子节点。

思路

设f[i][j]表示以i为根节点，能到达j个叶子节点的能赚多少钱。

树形dp都是子节点更新父节点，所以我们用子节点来进行状态转移：

假设u和v连接的一条边，则如果需要v这颗子树，则为v赚的钱-这条边的费用。 $$f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]-e[i].w)$$

和分组背包一样，倒序循环。

Code

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##include "bits/stdc++.h"
using namespace std;

const ll INF = 0x3f3f3f3f;

const int N = 5e3 + 10;
int d[N], siz[N], val[N];
int f[N][N];

struct Edge {
    int v, next, w;
}e[N];
int head[N], cnt;

inline void add(int u, int v, int w) {
    e[++cnt].v = v;
    e[cnt].w = w;
    e[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt;
}

void dfs(int u, int fa) {
    f[u][0] = 0;
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].v;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        for(int j = siz[u];j >= 0; j--) {
            for(int k = 1;k <= min(j, siz[v]); k++) {
                f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k] + f[v][k] - e[i].w);
            }
        }
    }
    if(d[u] == 1) f[u][1] = val[u], siz[u] = 1;
}

void solve() {
    int n, m; cin >> n >> m;
    mem(f, -INF);
    for(int i = 1;i <= n - m; i++) {
        int k; cin >> k;
        for(int j = 1;j <= k; j++) {
            int a, c; cin >> a >> c;
            d[i]++; d[a]++;
            add(i, a, c);
            add(a, i, c);
        }
    }
    for(int i = n - m + 1;i <= n; i++) cin >> val[i];
    dfs(1, -1);
    for(int i = m;i >= 0; i--) {
        if(f[1][i] >= 0) {
            cout << i << endl;
            return ;
        }
    }
}

signed main() {
    solve();
}